Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)
（1）求a₂，a₃；  
（2）令bn=

1+24an

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）已知f（n）=6a_n+1-3a_n，求证：f(1)•f(2)…f(n)＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由于数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)，先求出a₂，再求出a₃．
（2）由 bn=

1+24an

，可得 an= 

bn2-1

24

，代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*) 化简可得
2（b_n+1-3）=b_n-3，故{b_n-3}是以2为首项，以

1

2

为公比的等比数列，由此求出数列{b_n}的通项公式．
（3）先根据an=

bn2-1

24

求出a_n，化简f（n）=6a_n+1-3a_n =（1-

1

2n

）（1+

1

2n

）．再由当n≥2时，(1+

1

2n-1

)•(1-

1

2n

)=1+

2n-1-1

22n-1

＞1
可得f（1）•f（2）…f（n）＞（1-

1

2

）（1+

1

2n

）=

1

2

+

1

21+n

＞

1

2

．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)，
∴a₂=

1

16

(1+4a1+

1+24a1

)=

5

8

，
a3=

1

16

(1+4a2+

1+24a2

)=

1

16

(1+4×

5

8

+

1+24× 5 8

)=

15

32

．
（2）∵bn=

1+24an

，∴an= 

bn2-1

24

，代入 an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*) 得

bn+12-1

24

=

1

16

(1+4× 

bn2-1

24

+ bn)，化简可得 4bn+12=(bn+3)2，即 2b_n+1=b_n+3．
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，∴{b_n-3}是以2为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴b_n-3=2(

1

2

)n-1，∴b_n=(

1

2

)n-2+3．
（3）证明：∵已知 an=

bn2-1

24

=

( 1 4 )n-2+9 + 6×( 1 2 )n-2-1

24

=

2

3

×(

1

4

)n+(

1

2

)n+

1

3

，
故 f（n）=6a_n+1-3a_n =6[

2

3

×(

1

4

)n+1+(

1

2

)n+1+

1

3

]-3（

2

3

×(

1

4

)n+(

1

2

)n+

1

3

）=1-

1

4n

 
=（1-

1

2n

）（1+

1

2n

）．
当n≥2时，有(1+

1

2n-1

)•(1-

1

2n

)=1-

1

2n

+

1

2n-1

-

1

22n-1

=1+

2n-1-1

22n-1

＞1．
∴f（1）•f（2）…•f（n）=（1-

1

2

）（1+

1

2

）•（1-

1

4

）（1+

1

4

）…（1-

1

2n

）（1+

1

2n

）
＞（1-

1

2

）（1+

1

2n

）=

1

2

+

1

2n+1

＞

1

2

．
故要证的不等式 f(1)•f(2)…f(n)＞

1

2

成立．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，根据递推关系求通项公式，用放缩法证明不等式，属于中档题．