Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连接AD、BD得到△ABD．
（i）求实数a，b，k满足的等量关系；
（ii）△ABD的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依抛物线的定义可知：4+

1

2

p=5，可求p，进而可求抛物线方程
（Ⅱ）（i）联立直线与抛物线方程，消去x，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂．然后结合|y₁-y₂|=a，可得a，b，k之间的关系
（ii）由（i）可求AB中点M，进而可求点D，代入三角形的面积公式S△ABD=

1

2

DM•|y1-y2|，结合已知可证

解答：解：（Ⅰ）依题意：4+

1

2

p=5，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程组

y=kx+b y2=4x

消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依题意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

．
由|y₁-y₂|=a，得(y1+y2)2-4y1y2=a2
依题意：4+

1

2

p=5，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程组

y=kx+b y2=4x

消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依题意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

由|y₁-y₂|=a，得(y1+y2)2-4y1y2=a2，即

16

k2

-

16b

k

=a2，整理得16-16kb=（ak）²．
所以（ak）²=16（1-kb）
（ii）由（i）知AB中点M（

2-bk

k2

，

2

k

），所以点D（

1

k2

，

2

k

），
依题意知S△ABD=

1

2

DM•|y1-y2|
=

1

2

•

|1-bk|

k2

•a
又因为方程（※）中判别式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0．
所以S△ABD=

1

2

×

1-kb

k2

a，由（Ⅱ）可知1-kb=

(ak)2

16

，
所以S△ABD=

1

2

×

a2

16

×a=

a3

32

．
又a为常数，故△ABD的面积为定值．

点评：本题主要考查了利用抛物线的定义求解抛物线的方程，直线与曲线的相交关系的应用及方程的根与系数关系的应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力