【题目】已知数列满足
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)设数列满足
,其中
.记
的前
项和为
.是否存在正整数
,使得
成立?若存在,请求出所有满足条件的
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
,见解析
【解析】
(1)由条件,可得,从而可得{
}是公比为
的等比数列,由此可求数列{an}的通项公式;
(2)由数列的错位相减法求和,以及等比数列的求和公式,可得所求和.
(3)先通过列举法写出{Sn}的前8项,再对m,n的奇偶分类讨论,利用{Sn}的单调性来说明仅有一对符合题意的m,n.
(1)由已知可得:,即
,
所以数列是等比数列,其中首项为
,公比为
,所以
,即
.
(2)Tn=12
3
n(
)n,
Tn=1
2
(
)n
n(
)n+1,
作差得:Tn=
n
n(
)n+1=
n(
)n+1,
所以
(3)由已知可得,
,
,
,
,
,
,
.
1°当同时为偶数时,可知
;设
,则
,因为
,
所以数列单调递增,则
≥5时,
,即{S2n}在
≥5时单调增,所以
不成立;
故当同时为偶数时,可知
;
2°当同时为奇数时,设
,则
,因为
,
所以数列单调递增,则当
≥2时,
,
即≥2时,
,数列
在
≥2时单调递增,
而,
,
,故当
同时为奇数时,
不成立;
3°当为偶数,
为奇数时,显然
时,
不成立,
若,则
,
∵,∴
,由2°可知
,∴
,
∴当为偶数,
为奇数时,
不成立;
4°当为奇数,
为偶数时,显然
时,
不成立,若
,则
,
若,则
,
即,∴
时,
不成立;
若,由1°知
,又记
满足
,所以
单调递增,
,所以
时,
不成立;
综上:存在.
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【题目】已知函数,
,函数
的图象在点
处的切线平行于
轴.
(1)求的值;
(2)求函数的极小值;
(3)设斜率为的直线与函数
的图象交于两点
,
,
,证明:
.
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【题目】已知函数的定义域为
,部分对应值如下表,
的导函数
的图象如图所示.
下列关于的命题:
①函数的极大值点为
;
②函数在
上是减函数;
③如果当时,
的最大值是
,那么
的最大值为
;
④当时,函数
有
个零点;
⑤函数的零点个数可能为
、
、
、
、
个.
其中正确命题的个数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】设圆的圆心为
,直线
过点
且与
轴不重合,直线
交圆
于
,
两点,过点
作
的平行线交
于点
.
(1)证明为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
交
于
,
两点,过点
且与直线
垂直的直线与圆
交于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
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【题目】某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召,实施网络授课,为检验学生上网课的效果,高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人,现从中抽取了100人的数学成绩,绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中分数段的人数比
分数段的人数多6人.
(1)根据频率分布直方图,求a,b的值,并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数;(中位数保留两位小数)
(2)现用分层抽样的方法从分数在,
的两组同学中随机抽取6名同学,从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言,求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
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【题目】乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,甲发球得1分的概率为,乙发球得1分的概率为
,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球.则开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为________.
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【题目】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入
万元(已减去所用柴油费);该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,所付费用
(元)与使用年数
的关系为:
,已知第二年付费
元,第五年付费
元.
(1)试求出该农机户用于维修保养的费用(元)与使用年数
的函数关系;
(2)这台收割机使用多少年,可使平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)
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