【题目】设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,
,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2).
【解析】试题分析:(1)根据,对字母a分类讨论,求出函数的单调区间;(2)当
时,分离参数,转化为分别求
的最小值,及
的最大值,利用导数,求其
最大值即可.
试题解析:(1).
若,则
,在
单调递增.若
,当
时,
;当
时,
.于是
在
单调递减,在
单调递增.
(2)方法1:当时,
,即
因为函数在
单调递增,所以
.
设,
,当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减.故
,所以
.综上,
的取值范围为
.
(2)方法2:设,则当
时,
.
由,得
.
,当
时,
,
单调递增,所以
.
若,当
时,
,
单调递增,故
.因为
,所以
.
若,由
,
,知
在
存在唯一零点,设为
,则
.
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增;故
在
有最小值
,而
.由
得
.
由(1)得在
单调递减,所以
.
综上, 的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an﹣p,其中p是不为零的常数.
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)当p=3时,若数列{bn}满足bn+1=bn+an(n∈N*),b1=2,求数列{bn}的通项公式.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
(1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;
(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)的导函数f′(x),且对任意x>0,都有f′(x)>.
(1)判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性;
(2)设x1,x2∈(0,+∞),证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(3)请将(2)中结论推广到一般形式,并证明你所推广的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为两类(评定标准见表1).根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为
的学生中有40%是男生,等级为
的学生中有一半是女生.等级为
和
的学生统称为
类学生,等级为
和
的学生统称为
类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图2所示的频率分布直方图,
类别 | 得分( | |
表1
(I)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;
(Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率;
(Ⅲ)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%, 类女生占女生总数的比例为
,
类男生占男生总数的比例为
,判断
与
的大小.(只需写出结论)
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