Question

【题目】已知函数， ．

（）求的单调区间．

（）证明：当时，方程在区间上只有一个零点．

（）设，其中若恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（）的单调减区间为，单调增区间为．（）见解析;（）．

【解析】试题分析：（）求导得，可得的单调区间.

（）设， ，由（）可知在，上单调递增，且， ，可得证.

（）恒成立即函数的最小值为 ，利用导数可求得，

整理可得，解得.

试题解析：（）由已知，

令，

则，令，

则，

故的单调减区间为，单调增区间为．

（）设， ，

则，

由（）可知在，上单调递增，

且， ，

∴在上只有个零点，

故当，方程在区间上只有一个零点．

（）， ， 的定义域是，

，

令，

则，

由（）得，在区间上只有一个零点，

且是增函数，不妨设的零点是，

则当时， ，

即， 单调递减．

当时， ，

即， 单调递增，

∴函数的最小值为 ，

由，得，

故，

根据题意，

即，解得，

故实数的取值范围是．