【题目】已知数列各项均为正数,
,
,且
对任意
恒成立,记
的前
项和为
.
(1)若,求
的值;
(2)证明:对任意正实数,
成等比数列;
(3)是否存在正实数,使得数列
为等比数列.若存在,求出此时
和
的表达式;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见解析(3)存在
使数列
为等比数列,此时
,
.
【解析】试题分析:(1)根据,
,且
对任意
恒成立,代值计算即可.
(2)a1=1,a2=2,且anan+3=an+1an+2对任意n∈N*恒成立,则可得,从而
的奇数项和偶数项均构成等比数列,即可证明,
(3)在(2)中令,则数列
是首项为3,公比为
的等比数列,从而得到
,
.又数列
为等比数列,解得
,∴
,
,∴求出此时
和
的表达式.
试题解析:
解:(1)∵,∴
,又∵
,∴
;
(2)由,两式相乘得
,
∵,∴
,
从而的奇数项和偶数项均构成等比数列,
设公比分别为,则
,
,
又∵,∴
,即
,
设,则
,且
恒成立,
数列是首项为
,公比为
的等比数列,问题得证;
(3)在(2)中令,则数列
是首项为3,公比为
的等比数列,
∴
,
且,
,
,
,
∵数列为等比数列,∴
即即
解得(
舍去),
∴,
,
从而对任意有
,
此时,
为常数,满足
成等比数列,
当时,
,又
,∴
,
综上,存在使数列
为等比数列,此时
,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为两类(评定标准见表1).根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为
的学生中有40%是男生,等级为
的学生中有一半是女生.等级为
和
的学生统称为
类学生,等级为
和
的学生统称为
类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图2所示的频率分布直方图,
类别 | 得分( | |
表1
(I)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项测评中被评为类学生的人数;
(Ⅱ)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率;
(Ⅲ)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%, 类女生占女生总数的比例为
,
类男生占男生总数的比例为
,判断
与
的大小.(只需写出结论)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、2倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程;
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆的极坐标方程为:
.若以极点
为原点,极轴所在直线为
轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求圆的参数方程;
(Ⅱ)在直角坐标系中,点是圆
上动点,试求
的最大值,并求出此时点
的直角坐标.
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【题目】椭圆:
的离心率为
,过其右焦点
与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,右顶点为
,点
是椭圆上的动点,且点
与点
,
不重合,直线
与直线
相交于点
,直线
与直线
相交于点
,求证:以线段
为直径的圆恒过定点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
,且
过点
,曲线
的参考方程为
(
为参数).
(1)求曲线上的点到直线
的距离的最大值与最小值;
(2)过点与直线
平行的直线
与曲
线交于
两点,求
的值.
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【题目】如图,是边长为
的正方形,
平面
,
,
,
与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)设点是线段
上一个动点,试确定点
的位置,使得
平面
,并证明你的结论.
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