Question

【题目】已知四边形为等腰梯形， , 沿对角线将旋转，使得点至点的位置，此时满足.

（1）判断的形状，并证明；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）由题意可得： ，又，所以平面，进而得到，

又，故为直角三角形；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到二面角的平面角的余弦值，进而得正弦值.

试题解析：

（1）为等腰直角三角形，

证明：在等腰梯形中，由平面几何知识可得，又，

由余弦定理得，则，故，

折叠后，又，故平面，

而面，故，

又，故为直角三角形.

(2)由（1）知平面， ，以点为坐标原点，以所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则，

平面的法向量为，则，

取故， ，

同理可求得平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，则，

结合图形可知.