Question

【题目】已知函数.

（1）若，函数的极大值为，求实数的值；

（2）若对任意的， 在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

（1）求导函数，根据的不同取值判断出函数的单调性，求出极值后根据题意验证后可得实数的值．（2）由题意构造关于的函数，

由于，故在上单调递增，可得．所以将所求问题转化为对恒成立．（ⅰ）当时，由于， ，不合题意．（ⅱ）当时，令，由题意再分和两种情况讨论可得符合题意，故可得所求范围．

试题解析：

（1）∵，

∴

.

①当时， ，

令，得； ，得，

所以在上单调递增， 上单调递减．

所以的极大值为，不合题意．

②当时， ，

令，得； ，得或，

所以在上单调递增， 和上单调递减.

所以的极大值为，解得．符合题意．

综上可得．

（2）令， ，

当时， ，

则对恒成立等价于，

即对恒成立.

（ⅰ）当时， ， ， ，

此时，不合题意.

（ⅱ）当时，令，

则，其中， ，

令，

则在区间上单调递增，

①当时，则，

所以对， ，

从而在上单调递增，

所以对任意， ，

即不等式在上恒成立．

②时，

由， 及在区间上单调递增，可得

存在唯一的，使得，且时， .

从而时， ，所以在区间上单调递减，

所以当时， ，

即，不符合题意．

综上所述．

所以实数的取值范围为．