【题目】如图,是边长为
的正方形,
平面
,
,
,
与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)设点是线段
上一个动点,试确定点
的位置,使得
平面
,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2)(3)点
是线段
靠近
点的三等分点.
【解析】试题分析:(1)由正方形性质得,由
平面
得
,再根据线面垂直判定定理得
平面
(2)利用空间向量求二面角:先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系求二面角(3)设点
坐标,根据
平面
得
,列方程解得点
坐标,再确定位置
试题解析:(Ⅰ)证明:∵平面
,
平面
,
∴,
又∵是正方形,
∴,
∵,
∴平面
.
(Ⅱ)∵,
,
两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系
,
∵与平面
所成角为
,即
,
∴,
由,可知:
,
.
则,
,
,
,
,
∴,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,则
.
因为平面
,所以
为平面
的法向量,
∴,
所以.
因为二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)依题意得,设,
则,
∵平面
,
∴,即
,解得:
,
∴点的坐标为
,
此时,
∴点是线段
靠近
点的三等分点.
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【题目】已知数列各项均为正数,
,
,且
对任意
恒成立,记
的前
项和为
.
(1)若,求
的值;
(2)证明:对任意正实数,
成等比数列;
(3)是否存在正实数,使得数列
为等比数列.若存在,求出此时
和
的表达式;若不存在,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中, 为坐标原点,
、
是双曲线
上的两个动点,动点
满足
,直线
与直线
斜率之积为2,已知平面内存在两定点
、
,使得
为定值,则该定值为________
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【题目】已知函数(其中
)在点
处的切线斜率为1.
(1)用表示
;
(2)设,若
对定义域内的
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的前提下,如果,证明:
.
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【题目】已知定圆,定直线
,过
的一条动直线
与直线
相交于
,与圆
相交于
,
两点,
是
中点.
(Ⅰ)当与
垂直时,求证:
过圆心
.
(Ⅱ)当,求直线
的方程.
(Ⅲ)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃,梅花
,方片
以及黑桃
,让明、小红、小张、小李四个人进行猜测:
小明说:第1个盒子里面放的是梅花,第3个盒子里面放的是方片
;
小红说:第2个盒子里面饭的是梅花,第3个盒子里放的是黑桃
;
小张说:第4个盒子里面放的是黑桃,第2个盒子里面放的是方片
;
小李说:第4个盒子里面放的是红桃,第3个盒子里面放的是方片
;
老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是( )
A. 红桃或黑桃
B. 红桃
或梅花
C. 黑桃或方片
D. 黑桃
或梅花
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【题目】某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市名男生的身高服从正态分布
.现从某学校高三年级男生中随机抽取
名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于
和
之间,将测量结果按如下方式分组:
,
,…,
,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
(Ⅱ)求这名男生身高在
以上(含
)的人数;
(Ⅲ)在这名男生身高在
以上(含
)的人中任意抽取
人,该
人中身高排名(从高到低)在全市前
名的人数记力
,求
的数学期望.
参考数据:若,则
,
,
.
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