Question

已知F₁、F₂分别为椭圆C₁：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²＝4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|＝．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知点P(1，3)和圆O：x²＋y²＝b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB取一点Q，满足：＝－λ，＝λ(λ≠0且λ≠±1)．求证：点Q总在某定直线上．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由：知(0，1)，设，因M在抛物线上，故 　　① 　　又，则②， 　　由①②解得　4分 　　椭圆的两个焦点(0，1)，，点M在椭圆上， 　　有椭圆定义可得 　　 　　 　　 　　∴ 　　又，∴， 　　椭圆的方程为：．　7分 　　(Ⅱ)设， 　　由可得：， 　　即　10分 　　由可得：， 　　即 　　⑤×⑦得： 　　⑥×⑧得：　12分 　　两式相加得　13分 　　又点A，B在圆上，且， 　　所以， 　　即，所以点Q总在定直线上　15分