Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，底面，.

（1）求证：平面；

（2）求钝二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由线面垂直的性质定理与矩形的性质可证，再由线面垂直的判定定理可证平面，即，又由等腰三角形三线合一可知，最后由线面垂直的判定定理可证；

（2）由已知三条直线两两垂直，于是可以分别以射线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，进而表示点B,P,C,D的坐标，即可表示向量，再分别表示平面与平面的法向量，最后由数量积计算夹角的余弦值.

（1）证明：∵平面，∴.

∵四边形是矩形，所以，

由 平面，∴.

，为的中点，∴

由 平面.

（2）由已知三条直线两两垂直，于是可以分别以射线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则,

所以

设平面的法向量为，则

，令，则.

设平面的法向量为，则

，令，则.

.

设二面角的平面角为，由已知为钝角，

∴.