【题目】已知函数f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0对任意x∈[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);
(3)求证ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*)(n!=1×2×3×…×n).
【答案】
(1)解:f′(x)= (x>0),
当a>0时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1];
(2)解:令F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,则F′(x)= ,
若﹣a≤e,即a≥﹣e,
F(x)在[e,e2]上是增函数,
F(x)max=F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,
a≤ ,无解.
若e<﹣a≤e2,即﹣e2≤a<﹣e,
F(x)在[e,﹣a]上是减函数;在[﹣a,e2]上是增函数,
F(e)=a+1≤0,即a≤﹣1.
F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,即a≤ ,
∴﹣e2≤a≤ .
若﹣a>e2,即a<﹣e2,
F(x)在[e,e2]上是减函数,
F(x)max=F(e)=a+1≤0,即a≤﹣1,
∴a<﹣e2,
综上所述,a≤ .
(3)解:证明:令a=﹣1,此时f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以f(1)=﹣2,
由(1)知f(x)=﹣lnx+x﹣3在(1,+∞)上单调递增,
∴当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),即﹣lnx+x﹣1>0,
∴lnx<x﹣1对一切x∈(1,+∞)成立,
∵n≥2,n∈N*,则有ln( +1)< < = ﹣ ,
要证ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*),
只需证ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1)<1(n≥2,n∈N*);
ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1)
<(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )=1﹣ <1;
所以原不等式成立
【解析】(1)求导f′(x)= (x>0),从而判断函数的单调性;(2)令F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,从而求导F′(x)= ,再由导数的正负讨论确定函数的单调性,从而求函数的最大值,从而化恒成立问题为最值问题即可;(3)令a=﹣1,此时f(x)=﹣lnx+x﹣3,从而可得f(1)=﹣2,且f(x)=﹣lnx+x﹣3在(1,+∞)上单调递增,从而可得﹣lnx+x﹣1>0,即lnx<x﹣1对一切x∈(1,+∞)成立,从而可得若n≥2,n∈N* , 则有ln( +1)< < = ﹣ ,从而化ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*)为ln( +1)+ln( +1)+…+ln( +1)<1(n≥2,n∈N*);从而证明.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对不等式的证明的理解,了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计) 即为中奖.
乙商场:从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是2个红球,即为中奖.
问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
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【题目】已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数. 当x≥0时,f(x)= ,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是 .
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【题目】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求,并分析函数y= 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;
(2)若该公司采用模型函数y= 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数a的值.
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【题目】已知向量 =(1,3cosα), =(1,4tanα), ,且 =5.
(1)求| + |;
(2)设向量 与 的夹角为β,求tan(α+β)的值.
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【题目】已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={ x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},且(A∩B),A∩C=,求的值
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【题目】直三棱柱中,底面是边长为2的正三角形, 是棱的中点,且.
(1)若点为棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若点在棱上,且平面,求线段的长.
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【题目】已知
(1)设,,若函数存在零点,求a的取值范围;
(2)若是偶函数,求的值;
(3)在(2)条件下,设,若函数与的图象只有一个公共点,求实数b的取值范围.
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