Question

【题目】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y= 是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
（2）若该公司采用模型函数y= 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：

当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③f（x）≤ 恒成立．

对于函数模型f（x）= ：当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）= +2= +2＜9

所以f（x）≤9恒成立．

因为x=10时，f（10）= ，所以，f（x）≤ 不恒成立．

故该函数模型不符合公司要求

（2）解：对于函数模型f（x）= ，即f（x）=10﹣

当3a+20＞0，即a＞﹣ 时递增，

为要使f（x）≤9对x∈[10，1000]时恒成立，即f（1000）≤9

∴3a+18≥1000，∴a

为要使f（x）≤ 对x∈[10，1000]时恒成立，即 ，∴x2﹣48x+15a≥0恒成立，∴a

综上，a ，所以满足条件的最小的正整数a的值为328

【解析】（1）设奖励函数模型为y=f（x），根据奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%，即f（x）≤ ．对于函数模型，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，利用反例研究是否满足第三个条件；（2）对于函数模型f（x）= ，即f（x）=10﹣ 当3a+20＞0，即a＞﹣ 时递增，利用f（1000）≤9， ，即可确定a的范围，从而可求满足条件的最小的正整数a的值．