Question

【题目】已知函数 ．
（1）当a＜0时，若x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对x1 ， x2∈[1，a]，恒有|g（x1）﹣g（x2）|＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a＜0，由 ．

令f′（x）=0，

∴

列表：

x
f′（x）	﹣	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

这是 ．

∵x＞0，使f（x）≤0成立，

∴ ，

∴a≤﹣e，

∴a范围为（﹣∞，﹣e]．

（2）解：因为对x∈[1，a]， ，所以g（x）在[1，a]内单调递减．所以 ．

要证明|g（x1）﹣g（x2）|＜1，

只需证明 ＜1，

即证明 ＜0．

令 ，

＞0，

所以 在a∈（1，e]是单调递增函数，

所以 ＜0，

故命题成立

【解析】（1）求出函数f（x）的导函数，令导函数等于0求出根，列出x，f′（x），f（x）的情况变化表，通过表得到函数的最小值，令最小值小于等于0即可．（2）求出g（x）的导函数，判断出导函数的符号，得到函数g（x）递减，求出g（x）的最大值及最小值，通过分析法只需证得最大值与最小值差的绝对值小于1即可，构造新函数h（x），h（x）的导函数，判断出其符号，进一步求出h（x）的最大值，得证．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．