Question

1．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且$\overrightarrow{AO}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{BC}$，则λ₁+λ₂=$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 设内切圆半径为r，由题意得：r=OE=OF=AE=AF=$\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，从而表示出向量$\overrightarrow{AO}$，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．

解答 解：设内切圆半径为r，
由题意得：r=OE=OF=AE=AF═$\frac{a+b-c}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$，
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，
∴${λ}_{1}=\frac{7}{12}$，${λ}_{2}=\frac{1}{4}$．
∴λ₁+λ₂=$\frac{5}{6}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查向量知识，考查平面向量基本定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．