Question

11．已知函数$y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sqrt{3}$a=b+c，试判断三角形的形状．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可知T，利用周期公式可求ω，又点（$\frac{π}{3}$，0）是f（x）=sin（2x+φ）的一个对称中心，可得2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，从而解得φ，即可求得解析式．
（2）由sin（2B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合0＜B＜π可求B，由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinA=sinB+sinC，化简可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，从而解得A，C的值，即可得解．

解答 （本小题满分12分）
（1）∵T=2×（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2．
又点（$\frac{π}{3}$，0）是f（x）=sin（2x+φ）的一个对称中心，
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，φ=kπ-$\frac{2π}{3}$令k=1，得φ=$\frac{π}{3}$．
f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
（2）sin（2B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{6}$，又$\sqrt{3}$a=b+c，则$\sqrt{3}$sinA=sinB+sinC，
∴$\sqrt{3}$sinA=$\frac{1}{2}+$sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\frac{1}{2}+sin\frac{5π}{6}cosA-sinAcos\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}cosA-\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}=0$，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，所以C=$\frac{π}{2}$，故△ABC为直角三角形．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．