Question

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为：y=

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x2-200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）若月处理成本y不超过105000元，求月处理量x的范围；
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

Answer 1

分析：（1）利用函数解析式，根据月处理成本y不超过105000元，建立不等式，结合函数的定义域即可求得结论；
（2）求出利润函数不等式，利用配方法，求出函数的最大值，即可确定是否获利及国家每月至少补贴的费用．

解答：解：（1）∵月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为y=

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x2-200x+80000，x∈[400，600]
∴月处理成本y不超过105000元，即

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x2-200x+80000≤105000，∴400≤x≤500；
（ 2）由题意，每月获利为100x元
∴设利润f（x）=100x-（

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x2-200x+80000）=-

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x²+300x-80000=-

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（x-300）²-35000，x∈[400，600]，
∴函数在[400，600]上单调减
∴x=400时，f（x）最大值=f（400）=-40000
∴该厂不获利，国家每月至少需要补贴40000元．

点评：本题考查解不等式，考查求二次函数的最值，确定利润函数是关键，属于中档题．