Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若图象g（x）与函数f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由图象，求出A，T=16，ω=

π

8

，利用函数过（-2，0）求出φ，然后求得函数f（x）的解析式；
（2）函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于点P（4，0）对称，满足g（4+x）+f（4-x）=0，则g（x）=-f（8-x），然后求函数g（x）的表达式，再求它的单调递增区间．

解答：解：（1）由题意A=

2

，T=16，ω=

π

8

，x=-2时f（x）=0，
即：sin[

π

8

×（-2）+φ]=0；
∴φ=

π

4

f(x)=

2

sin(

π

8

x+

π

4

)（6分）
（2）∵g（4+x）+f（4-x）=2×0
∴g（x）=-f（8-x）=-

2

sin[

π

8

(8-x)+

π

4

]
=-

2

sin(

5π

4

-

π

8

x)=

2

sin(

π

8

x-

5π

4

)令2kπ-

π

2

≤

π

8

x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

得16k+6≤x≤16k+14（k∈Z）．
所以f（x）的单调递增区间是[16k+6，16k+14]（k∈Z）．（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，注意化简x的系数为正，考查计算能力，是中档题．