Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率等于2，则双曲线的渐近线与圆（x-2）²+y²=3的位置关系是（　　）

• A． 相离
• B． 相切
• C． 相交
• D． 不确定

Answer 1

分析 运用离心率公式，即a，b，c的关系，可得b=$\sqrt{3}$a，求得渐近线方程，圆心到直线的距离与半径比较即可得到所求关系．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=2，
化为b=$\sqrt{3}$a，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\sqrt{3}$x，
圆（x-2）²+y²=3的圆心为（2，0），半径为$\sqrt{3}$，
圆心到直线的距离为$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=$\sqrt{3}$，
则渐近线与圆相切．
故选B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质：离心率和渐近线，考查直线和圆的位置关系，以及运算求解能力，属于基础题．