Question

10．下列命题中是真命题的所有序号有（3）、（4）、（5）
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$；
（2）对空间任意点O与不共线的三点A，B，C，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面；
（3）“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“曲线C的方程是f（x，y）=0”的必要条件；
（4）曲线C的方程是f（x，y）=0，则曲线C关于y轴对称的曲线方程是f（-x，y）=0；
（5）（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$垂直．

Answer 1

分析 举例说明（1）错误；利用空间向量的基本定理知（2）错误；利用曲线与方程的关系以及充要条件判断（3）的正误；由对称曲线方程的关系判断（4）正确；通过向量的数量积判断（5）的正误．

解答 解：对于（1），若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，不一定有$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$，如$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}$可以是任意两个不等向量，故（1）错误；
对于（2），由空间向量基本定理知，空间任意一个向量$\overrightarrow{OP}$可以用不共面的三个向量$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}、\overrightarrow{OC}$线性表示，P、A、B、C四点不一定共面，故（2）错误；
对于（3），方程的曲线和曲线的方程是这样定义的：①曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，②以方程f（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上．则方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线．“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是“曲线C的方程是f（x，y）=0”的必要条件；故（3）正确；
对于（4），曲线C的方程是f（x，y）=0，则曲线C关于y轴对称的曲线方程是f（-x，y）=0，故（4）正确；
对于（5），∵[（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{b}$]•$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，∴（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{a}$-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$）$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$垂直，故（5）正确．
∴正确命题的序号是（3）、（4）、（5）．
故答案为：（3）、（4）、（5）．

点评 本题主要考查与向量有关的命题的真假判断，要求熟练掌握向量的有关概念，以及充要条件的判断，考查学生的推理判断能力，是中档题．