Question

15．已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，S_n为前n项和，a₅和a₇的等差中项为11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．求a_n及T_n．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，可求得数列{a_n}的首项与公差，从而可得其通项a_n；再由b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，利用裂项法可求得数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：因为{a_n}为等差数列，设公差为d，则由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_5}+{a_7}=22⇒2{a_1}+10d=22\\{a_2}•{a_5}={a_1}•{a_{14}}⇒（{a_1}+d）（{a_1}+4d）={a_1}（{a_1}+13d）\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+5d=11\\ d=2{a_1}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=2\\{a_1}=1\end{array}\right.$，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，着重考查解方程组求通项与裂项法求和的应用，属于中档题．