Question

20．设F₁，F₂为双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，则△F₁PF₂的面积是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设|PF₁|=x，|PF₂|=y，根据根据双曲线性质可知x-y的值，再根据∠F₁PF₂=90°，求得x²+y²的值，进而根据2xy=x²+y²-（x-y）²求得xy，进而可求得∴△F₁PF₂的面积．

解答 解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，（x＞y）
双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}$=1的a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
根据双曲线性质可知x-y=2a=4，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，
∴∠F₁PF₂=90°，
∴x²+y²=4c²=20，
∴2xy=x²+y²-（x-y）²=4，
∴xy=2，
∴△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}$xy=1．
故选：A．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系．