Question

5．已知a_n为（1+x）ⁿ⁺²的展开式中含xⁿ项的系数，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{（n+1）（n+2）}{2}$
• B． $\frac{n（n+1）}{2}$
• C． $\frac{n}{n+1}$
• D． $\frac{n}{n+2}$

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数等于n，求出a_n；利用裂项求和求出数列的前n项和．

解答 解：∵T_r+1=C_n+2^rx^r，
∴a_n=C_n+2ⁿ=C_n+2²=$\frac{（n+2）（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{（n+2）（n+1）}$=2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{n}{n+2}$，
故选：D

点评 本题考查二项展开式的通项公式；本题考查利用裂项求数列的前n项和．