Question

17．设函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[${\frac{1}{4}$，2]上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2ln$\frac{ax+2}{{6\sqrt{x}}}$，对于任意a∈（2，4），总存在x∈[$\frac{3}{2}$，2]，使g（x）＞k（4-a²）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对f（x）进行求导，将其转化为在区间[$\frac{1}{4}$，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，根据抛物线的性质可以看出，图象开口向上，利用根与系数的关系进行求解；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论k的范围结合函数的单调性确定k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a=$\frac{{2x}^{2}-ax+1}{x}$，设g（x）=2x²-2ax+1
由题意知，在区间[$\frac{1}{4}$，2]上存在区间使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于抛物线g（x）=2x²-ax+1开口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（$\frac{1}{4}$）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-2a+1＞0，∴a＜$\frac{9}{2}$，
由g（$\frac{1}{4}$）＞0，即$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$a+1＞0，∴a＜$\frac{9}{2}$，
∴$a＜\frac{9}{2}$；
（Ⅱ）g（x）=f（x）+2ln$\frac{ax+2}{{6\sqrt{x}}}$=2ln（ax+2）+x²-ax-2ln6，
∴g′（x）=$\frac{2ax（x+\frac{4{-a}^{2}}{2a}）}{ax+2}$，
∵$\frac{4{-a}^{2}}{2a}$=$\frac{2}{a}$-$\frac{a}{2}$＞-$\frac{3}{2}$，而x≥$\frac{3}{2}$，∴x+$\frac{4{-a}^{2}}{2a}$＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）在x∈[$\frac{3}{2}$，2]递增，
∴g（x）_max=g（2）=2ln（2a+2）-2a+4-2ln6，
∴2ln（2a+2）-2a+4-2ln6＞k（4-a²）在（2，4）上恒成立．
令h（a）=2ln（2a+2）-2a+4-2ln6-k（4-a²），因h（2）=0，
∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立．
∵h′（a）=$\frac{2a（ka+k-1）}{a+1}$，
k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，
h（a）＜h（2）=0，不合题意；
k＞0时，h′（a）=0，可得a=$\frac{1-k}{k}$．
①$\frac{1-k}{k}$＞2，即0＜k＜$\frac{1}{3}$时，h（a）在（2，$\frac{1-k}{k}$）上单调递减，
存在h（a）＜h（2）=0，不合题意；
②$\frac{1-k}{k}$≤2，即k≥$\frac{1}{3}$时，h（x）在（2，4）上单调递增，
h（a）＞h（2）=0，满足题意．
综上，实数k的取值范围为[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 此题主要考查利用导数研究求闭区间上的最值问题，此题综合性比较强，这类题型是高考的热点问题，解的过程中我们用到了分类讨论和转化的思想，是一道中档题．