Question

7．已知a＞0，b＞0，且4a-b≥2，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，4a≥b+2＞2，a＞$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}$≥$\frac{1}{4a-2}$，可得$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$≤$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$，令y=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$，求导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．

解答 解：由题意，4a≥b+2＞2，a＞$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b}$≥$\frac{1}{4a-2}$，
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$≤$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$
令y=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{4a-2}$
则y′=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{（4a-2）^{2}}$=$\frac{-4（3a-1）（a-1）}{{a}^{2}（4a-2）^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}＜a＜1$时，y′＞0，函数单调递增，a＞1时，y′＜0，函数单调递减，
∴a=1时，y_max=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$≤$\frac{1}{2}$，
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，正确转化是关键．