Question

18．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD．
（1）求证：∠CAD=∠BAC；
（2）若AD=4，AC=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆的性质、圆的切线的性质，可得∠ADC=∠ACB=90°．∠DCA=∠B．可得△ADC∽△ACB，即可证明．
（2）由（1）得△ADC∽△ACB．利用相似的性质即可得出．

解答 （1）证明：连接BC．由AB为⊙O的直径，得∠ACB=90°．
∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°．
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA=∠B．
∴△ADC∽△ACB，∴∠CAD=∠BAC． 
（2）解：由（1）得△ADC∽△ACB．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，∴AC²=AD•AB．
又∵AD=4，AC=6，∴AB=9．

点评 本题考查了圆的性质、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．