Question

8．如图，四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD
（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD
（Ⅲ） 假定PA=AD=CD，求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD
（Ⅱ）取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE∥AF，然后证明BE∥平面PAD
（Ⅲ）连接AC，取AC中点O，连接EO．过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．说明∠EGO为所求二面角E-BD-C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E-BD-C的平面角的正切值．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，
∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，
∵DC?面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD
（Ⅱ）证明：取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，
∴在△PDC中：EF∥=$\frac{1}{2}DC$，∴EF∥=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
即BE∥AF，
∵AF?面PAD且BE?面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）解：连接AC，取AC中点O，连接EO．
在△PAC中：EO∥=$\frac{1}{2}PA$，
∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．
由三垂线定理知：∠EGO为所求二面角E-BD-C的平面角，
设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a
连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，
过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．
∴$OG=\frac{1}{2}{B^/}{G^/}=\frac{1}{2}B{B^/}•sin∠{B^/}B{G^/}=\frac{1}{2}B{B^/}•sin∠ABD$=$\frac{1}{2}a•\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}a•\frac{2a}{{\sqrt{{{（2a）}^2}+{a^2}}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}a$
在△EOG中：$tan∠EGO=\frac{EO}{OG}=\frac{a}{{\frac{1}{{\sqrt{5}}}a}}=\sqrt{5}$，
故：二面角E-BD-C的平面角的正切值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查二倍角的平面角的求法，直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．