Question

10．设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于P点，若△F₁PF₂为等腰三角形，离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}-1$

Answer 1

分析 由题意设P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），由等腰直角三角形的性质可知|PF₂|=|F₁F₂|，求得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，化简整理得：e²+2e-1=0，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：设点P在x轴上方，坐标为（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵△F₁PF₂为等腰直角三角形
∴|PF₂|=|F₁F₂|，即$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，即$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=2•\frac{c}{a}$，
∵e=$\frac{c}{a}$，
∴1-e²=2e，整理得：e²+2e-1=0，解得：e=$\sqrt{2}$-1，
∴椭圆的离心率e=$\sqrt{2}$-1，
故答案选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系的应用．考查计算能力，属于基础题．