Question

19．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a²=（b+c）²，则cosA等于-$\frac{15}{17}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式即可化简可得17cos²A+32cosA+15=0，进而可求cosA的值．

解答 解：∵由题意可得：S=$\frac{1}{2}$bcsinA=（b+c）²-a²=b²+c²-a²+2bc，
又∵b²+c²-a²=2bccosA，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=2bccosA+2bc，整理可得：sinA=4cosA+4，两边平方可得：1-cos²A=16cos²A+16+32cosA，
∴整理可得：17cos²A+32cosA+15=0，
∴解得：cosA=-$\frac{15}{17}$，或-1（舍去）．
故答案为：-$\frac{15}{17}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，灵活应用相关公式是解题的关键，属于基础题．