Question

5．已知命题p：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$为R上的单调函数，则使命题p成立的一个充分不必要条件为（　　）

• A． a∈（-1，0）
• B． a∈[-1，0）
• C． a∈（-2，0）
• D． a∈（-∞，-2）

Answer 1

分析 求出使函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$为R上的单调函数的a的范围，结合充要条件的定义，可得答案．

解答 解：若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$为R上的单调增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ a+2＞0\\ a+2≤1\end{array}\right.$，此时不存在满足条件的a值；
若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a+2）{e}^{ax}，x＜0}\end{array}\right.$为R上的单调减函数，
则$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ a+2＞0\\ a+2≥1\end{array}\right.$，解得：a∈[-1，0），
故使命题p成立的一个充分不必要条件为a∈（-1，0），
故选：A．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了分段函数的单调性，充要条件，分类讨论思想，难度中档．