Question

16．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，若棱AB上存在点P使D₁P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是0＜AD≤1；此时若AD取得最大值时，长方体外接球的表面积为9π．

Answer 1

分析 如图所示，假设棱AB上存在一点P，使得D₁P⊥PC，连接DP，由DD₁⊥底面ABCD，则必有CP⊥DP，因此只要以DC为直径的圆与线段AB有交点即可，求出长方体外接球的直径，可得半径，即可求出长方体外接球的表面积．

解答 解：如图所示，当0＜AD≤1时，以DC=2为直径的圆与AB 有交点P，连接CP，DP，则CP⊥DP．
∵DD₁⊥底面ABCD，根据三垂线定理，则CP⊥D₁P，满足题意．
AD=1时，长方体外接球的直径为$\sqrt{4+4+1}$=3，半径为$\frac{3}{2}$，
长方体外接球的表面积为$4π•\frac{9}{4}$=9π，
故答案为：0＜AD≤1，9π．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查长方体外接球的表面积，掌握三垂线定理及理解直径所对的圆周角是直角是解题的关键．