Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当．（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

由上表可知，函数；
单调递增区间是．
极小值是．（6分）
（2）由．
又函数为[1，3]上单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，所以不等式在[1，3]上恒成立．
即在[1，3]上恒成立．（10分）
又在[1，3]为减函数，
所以．
所以．（12分）
分析：（1）当a=-2e时，我们易得到函数的解析式，进而求出函数的导函数，列表讨论导函数的符号，即可得到函数f（x）的单调区间；
（2）若函数在[1，3]上是减函数，则g'（x）≤0在[1，3]上恒成立，由此转化为函数恒成立问题，并转化为a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，其中根据原函数的解析式，求出导函数的解析式是解答本题的关键．