Question

2．设向量$\overrightarrow{{a}_{i}}$=（cos2i°，1）$\overrightarrow{{b}_{i}}$=（$\frac{1}{sin2i°}$，$\frac{1}{sin2i°}$），记号$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=k}$a_i表示a_ka_k+1a_k+2…a_n，则$\underset{\stackrel{45}{π}}{i=1}$（$\frac{1}{\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{b}_{i}}}$+1）的值为2²³．

Answer 1

分析 通过向量数量积的坐标运算、二倍角公式可知$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{b}_{i}}$=$\frac{cosi°}{sini°}$，通过辅助角公式可知$\frac{1}{\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{b}_{i}}}$+1=$\sqrt{2}$•$\frac{sin（45+i）°}{cosi°}$，利用一个正角的正弦值等于其余角的余弦值可知所求值为$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin90°}{cos45°}$•$\frac{sin89°}{cos1°}$•$\frac{sin88°}{cos2°}$•…•$\frac{sin46°}{cos44°}$=2²³．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{{a}_{i}}$=（cos2i°，1），$\overrightarrow{{b}_{i}}$=（$\frac{1}{sin2i°}$，$\frac{1}{sin2i°}$），
∴$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{b}_{i}}$=（cos2i°，1）•（$\frac{1}{sin2i°}$，$\frac{1}{sin2i°}$）
=$\frac{1+cos2i°}{sin2i°}$
=$\frac{cosi°}{sini°}$，
∴$\frac{1}{\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{{b}_{i}}}$+1=$\frac{sini°+cosi°}{cosi°}$=$\sqrt{2}$•$\frac{sin（45+i）°}{cosi°}$，
∴所求值为$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin46°sin47°sin48°…sin90°}{cos1°cos2°cos3°…cos45°}$
=$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin90°}{cos45°}$•$\frac{sin89°}{cos1°}$•$\frac{sin88°}{cos2°}$•…•$\frac{sin46°}{cos44°}$
=$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin90°}{cos45°}$
=$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$（\sqrt{2}）^{46}$
=2²³，
故答案为：2²³．

点评 本题是一道关于数列的综合题，涉及向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、互为余角的正弦、余弦关系，注意解题方法的积累，属于中档题．