Question

13．证明：C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2ⁿ．

Answer 1

分析 在二项定理中，令a=1、b=1，化简可得C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$的值，命题得证．

解答 证明：在展开式中（a+b）ⁿ=C${\;}_{n}^{0}$aⁿ+C${\;}_{n}^{1}$a^n-1b+…+${C}_{n}^{r}$a^n-rb^r+…+C${\;}_{n}^{n}$bⁿ（n∈N⁺）中，
令a=1，b=1，则（1+1）n=C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$，
即C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2ⁿ．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．