Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{ax+1}{2-x}，x≠2}\\{{a}^{2}，x=2}\end{array}\right.$的定义域与值域相同，则实数a的取值是a=0或-1．

Answer 1

分析 可以看出f（x）的定义域为R，从而值域也为R，x≠2时，f（x）可以变成：f（x）=$-a+\frac{2a+1}{2-x}$，从而可看出此时f（x）≠-a，而由于f（x）的值域为R，从而x=2时的f（x）的值一定是-a，从而得到a²=-a，这样解出a即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为R；
∴f（x）的定义域也为R；
x≠2时，$f（x）=\frac{ax+1}{2-x}=\frac{-a（2-x）+2a+1}{2-x}=-a+\frac{2a+1}{2-x}$；
$\frac{2a+1}{2-x}≠0$；
f（x）≠-a；
∵f（x）的值域为R；
∴x=2时，f（x）=a²=-a；
∴a=0，或-1；
∴实数a的取值是a=0或-1．
故答案为：a=0或-1．

点评 考查函数定义域、值域的概念，分离常数法在求函数值域中的运用，以及分段函数的定义域、值域的求法．