Question

16．已知函数f（x）=-x+2a$\sqrt{x-1}$+5．
（1）求函数f（x）在[5，10]上的最大值g（a）的解析式；
（2）若函数f（x）在[5，10]上的最小值为12，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令t=$\sqrt{x-1}$（2≤t≤3），则y=-t²+2at+4=-（t-a）²+4+a²，讨论对称轴t=a和区间[2，3]的关系，可得最大值；
（2）由抛物线开口向下，可得最小值只能为端点处取得最小值．分别计算f（5）=12，f（10）=12，求得a的值，再加以检验即可得到所求．

解答 解：（1）函数f（x）=-x+2a$\sqrt{x-1}$+5，
令t=$\sqrt{x-1}$（2≤t≤3），
则y=-t²+2at+4=-（t-a）²+4+a²，
当a≤2时，[2，3]为递减，
即有t=2取得最大值4a；
当a≥3时，[2，3]为递增，
即有t=3时，取得最大值-5+6a；
当2＜a＜3时，即有t=a时，取得最大值4+a²．
即有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4a，a≤2}\\{4+{a}^{2}，2＜a＜3}\\{6a-5，a≥3}\end{array}\right.$；
（2）由y=-t²+2at+4=-（t-a）²+4+a²，（2≤t≤3），
由抛物线开口向下，可得最小值只能为端点处取得最小值．
由t=2时，-4+4a+4=12，解得a=3；
由t=3时，-9+6a+4=12，解得a=$\frac{17}{6}$．
当a=3时，区间[2，3]为递增，f（2）为最小值；
当a=$\frac{17}{6}$时，区间[2，3]不单调，f（2）取得最小值，不成立．
综上可得a=3．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意讨论二次函数的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．