Question

【题目】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．

（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，

∴AB∥DE，又∵AB平面PDE，∴AB∥平面PDE，

∵AB平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，

∴AB∥FG

（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，

如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），

B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），

E（0，2，0），F（0，1，1）， ，

设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则

即 ，

令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），

设直线BC与平面ABF所成的角为α，则

sinα=|cos |=| |= ，

∴直线BC与平面ABF所成的角为 ，

设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设 ，

即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，

∴n =0，即（0，﹣1，1）（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ= ，∴H（ ），

∴PH= =2．

【解析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos |，求出角α；设H（u，v，w），再设 ，用λ表示H的坐标，再由n =0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．