精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=lnx+
1x
+ax在[2,+∞)
上是减函数,则实数a的取值范围是
 
分析:根据题意,已知f(x)在区间[2,+∞)上是减函数,即f′(x)≤0在区间[2,+∞)上恒成立,对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离,另一边转化为求函数在定义域下的最值,即可求解.
解答:解:f′(x)=
1
x
-
1
x2
+a,,∵f(x)在[2,+∞)上为减函数,
∴x∈[2,+∞)时,f′(x)=
1
x
-
1
x2
+a≤0恒成立.
即a≤
1
x2
-
1
x
恒成立.
设y=
1
x2
-
1
x
t=
1
x
∈(0,
1
2
]
y=t2-t=(t-
1
2
)
2
-
1
4
-
1
4

∴ymin=-
1
4

则a≤ymin=-
1
4

故答案为:(-∞,-
1
4
]
点评:本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题,解题的关键将题目转化成f′(x)≤0在区间[2,+∞)上恒成立进行求解,同时考查了参数分离法,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案