Question

【题目】已知数列，其前项和为.

（1）若对任意的， ， ， 组成公差为4的等差数列，且，求；

（2）若数列是公比为（）的等比数列， 为常数，

求证：数列为等比数列的充要条件为.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：(1)根据题意,可求得， （）,从而得， ， ，……， ， 是公差为4的等差数列,且,于是可求；

(2)由 ,可求得,,两式相减得,若,可证得数列为等比数列,(充分性);若数列为等比数列,可证得,(必要性).

试题解析：（1）因为， ， 成公差为4的等差数列，

所以， （），

所以， ， ，……， ， 是公差为4的等差数列，且

，

又因为，所以

（2）因为，所以，①

所以，②

②-①，得，③

（i）充分性：因为，所以， ， ，代入③式，得

，因为，又，

所以， ，所以为等比数列，

（ii）必要性：设的公比为，则由③得，

整理得，

此式为关于的恒等式，若，则左边=0，右边=-1，矛盾：

若，当且仅当时成立，所以.

由（i）、（ii）可知，数列为等比数列的充要条件.