Question

【题目】已知函数f（x）=x|2x﹣a|，g（x）= （a∈R），若0＜a＜12，且对任意t∈[3，5]，方程f（x）=g（t）在x∈[3，5]总存在两不相等的实数根，求a的取值范围 ．

Answer 1

【答案】[ ，9）
【解析】解：作函数f（x）=x|2x﹣a|的图象如下，
，
结合图象可知，
若方程f（x）=g（t）在x∈[3，5]总存在两不相等的实数根，
则3＜ ＜5，即6＜a＜10；
此时，f（x）在[3， ]上是减函数，在[ ，5]上是增函数；
f（3）=3|6﹣a|，f（5）=5|10﹣a|，f（ ）=0；
g′（x）= = ，
∵6＜a＜10，
∴g′（x）＞0恒成立，
故g（x）在[3，5]上单调递增；
且g（3）= ，g（5）= ，
故0＜ ，
≤3|6﹣a|=3（a﹣6），
≤5|10﹣a|=5（10﹣a），
故 ≤a＜9，
故答案为：[ ，9）．
作函数f（x）=x|2x﹣a|的图象，从而结合图象可知6＜a＜10；并判断函数的单调性，求导可得g′（x）＞0恒成立，从而判断函数g（x）在[3，5]上单调递增；从而化简求得．