Question

【题目】已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn ， 已知a1+a4=﹣ ，且对于任意的n∈N*有Sn ， Sn+2 ， Sn+1成等差数列；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=n（n∈N+），记 ，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，

∵对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差，

∴2 ．

整理得： ．

∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q．

∴2q2+q=0，又q≠0，∴q= ．

又 ，

把q= 代入后可得 ．

所以， ；

（2）解：∵bn=n， ，∴ ，

∴ ．

．

∴ =

∴ ．

若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，

则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立，

也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，

∴m≥ 对于n≥2恒成立，

令 ，

∵ =

∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）= ．

∴m ．

所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[ ）．

【解析】（1）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N+有Sn ， Sn+2 ， Sn+1成等差得2S3=S1+S2 ， 代入首项和公比后即可求得公比，再由已知 ，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（2）把（1）中求得的an和已知b=n代入 整理，然后利用错位相减法求Tn ， 把Tn代入（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．