Question

【题目】已知动圆过定点F（0，﹣1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S1为△ABC的面积，S2为△ODE的面积，令Z=S1S2 ， Z的最小值是 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：依题意，由抛物线的定义易得动圆圆心Q的轨迹M的标准方程为：x2=﹣4y，
依题意可设椭圆N的标准方程为 + =1，
显然有c=1，a=2，b= = ，
可得椭圆N的标准方程为 + =1；
显然直线m的斜率存在，
不妨设直线m的直线方程为：y=kx﹣1①
联立椭圆N的标准方程 + =1，有（3k2+4）x2﹣6kx﹣9=0，
x1+x2= ，x1x2=﹣ ，
设B（x1 ， y1），C（x2 ， y2）
则有|BC|= |x1﹣x2|= = ，
又A（0，2）到直线m的距离d1= ，
∴S1= |BC|d1= ，
再将①式联立抛物线方程x2=﹣4y有x2+4kx﹣4=0，
同理易得|DE|=4（1+k2），d2= ，
∴S2=2 ，
∴Z=S1S2= =12（1﹣ ）≥12（1﹣ ）=9，
∴当k=0时，Zmin=9．
所以答案是：9．