【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
【答案】
(1)证明:以D为坐标原点,
分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设PD=DC=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),
=(2,0,﹣2), =(0,1,1), ,
设 是平面BDE的一个法向量,
则由 ,得 ,
取y=﹣1,得 .
∵ =2﹣2=0,∴ ,
又PA不包含于平面BDE,PA∥平面BDE,
(2)解:由(1)知 =(1,﹣1,1)是平面BDE的一个法向量,
又 = =(2,0,0)是平面DEC的一个法向量.
设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ,
∴cosθ=cos< , >= .
故二面角B﹣DE﹣C的余弦值为 .
(3)解:∵ =(2,2,﹣2), =(0,1,1),
∴ =0,∴PB⊥DE,
假设棱PB上存在点F,使PB⊥平面DEF,设 ,(0<λ∠1),
则 =(2λ,2λ,﹣2λ), = =(2λ,2λ,2﹣2λ),
由 =0,得4λ2+4λ2﹣2λ(2﹣2λ)=0,
∴ ∈(0,1),此时PF= ,
即在棱PB上存在点F,PF= ,使得PB⊥平面DEF.
【解析】(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证明PA∥平面BDE.(2)由已知求出平面BDE的一个法向量和平面DEC的一个法向量,利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值.(Ⅲ)由已知得PB⊥DE,假设棱PB上存在点F,使PB⊥平面DEF,设 ,(0<λ∠1),由此利用向量法能求出在棱PB上存在点F,PF= ,使得PB⊥平面DEF.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5000步的有人,超过10000步的有人,设,求的分布列及数学期望.
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【题目】函数f(x)=alnx+1(a>0).
(1)当x>0时,求证: ;
(2)在区间(1,e)上f(x)>x恒成立,求实数a的范围.
(3)当 时,求证: (n∈N*).
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【题目】已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn , 已知a1+a4=﹣ ,且对于任意的n∈N*有Sn , Sn+2 , Sn+1成等差数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=n(n∈N+),记 ,若(n﹣1)2≤m(Tn﹣n﹣1)对于n≥2恒成立,求实数m的范围.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.数据4、6、6、7、9、4的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据3,5,7,9的标准差是数据6、10、14、18的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
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【题目】为了了解小学生的体能情况,抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前三个小组的频率分别为 0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为 5.
(1)求第四小组的频率;
(2)若次数在 75 次以上(含75 次)为达标,试估计该年级学生跳绳测试的达标率.
(3)在这次测试中,一分钟跳绳次数的中位数落在哪个小组内?试求出中位数.
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【题目】设点,动圆经过点且和直线相切,记动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8,面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点为椭圆上一点,直线的方程为,求证:直线与椭圆有且只有一个交点.
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【题目】为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出2000尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出500尾鱼,其中有标记的鱼为40尾,根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( )
A.10000
B.20000
C.25000
D.30000
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