Question

在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF₂与椭圆的另一个交点为D，若cos∠F1BF2=

7

25

，则直线CD的斜率为（　　）

• A．.

  13

  25

• B．.

  12

  25

• C．

  9

  25

• D．.

  21

  25

Answer 1

分析：Rt△OF₁B中，可得cos∠F₁BO=

b

a

，结合二倍角公式和cos∠F1BF2=

7

25

，算出

b

a

=

4

5

．设D（m，n），可证出BD、CD斜率之积等于-

16

25

，再根据kBD=kBF2=-

4

3

，即可算出直线CD的斜率为

12

25

．

解答：解：Rt△OF₁B中，|OF₁|=c，|OB|=b
∴|BF₁|=

b2+c2

=a，得cos∠F₁BO=

b

a

∵cos∠F1BF2=cos2∠F1BO=2cos2∠F1BO-1=

7

25

∴2•（

b

a

）²-1=

7

25

，解之得

b

a

=

4

5

设D（m，n），得kBD=

b-n

-m

，kCD=

-b-n

-m

∴k_BD•k_CD=

n2-b2

m2

∵D（m，n）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴

m2

a2

+

n2

b2

=1，得n²=b²（1-

m2

a2

）
由此可得k_BD•k_CD=

- b2 a2 •m2

m2

=-

b2

a2

=-

16

25

又∵kBD=kBF2=-

b

c

=-

b2 a2-b2

=-

b2 a2 1- b2 a2

=-

4

3

∴k_CD=

- 16 25

- 4 3

=

12

25

，即直线CD的斜率等于

12

25

故选：B

点评：本题在椭圆中，给出短轴顶点对两个焦点张角的余弦值，求与椭圆离心率相关的一个斜率之值，着重考查了直线的斜率、二倍角的三角函数、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．