Question

已知椭圆方程为，它的一个顶点为A（0，2），离心率．
（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y=kx-2（k∈R且k≠0），与椭圆相交于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点且有AP⊥MN，求实数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用题中条件列出方程组，解方程组即可求椭圆的方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立，可得关于点M、N坐标的等式，再利用中点坐标公式求出点P的坐标，代入由AP⊥MN得到的 即可 求实数k的值．
解答：解：（1）由它的一个顶点为A（0，2），离心率．得，
解得，
故椭圆的方程．
（2）联立⇒（1+3k²）x²-12kx=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y）
则，
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-．
故x=，y=-             
有AP⊥MN⇒⇒⇒⇒⇒k=．
故实数k的值为 ．
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆标准方程的求法．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．