Question

16．已知点P在Rt△ABC所在平面内，∠BAC=90°，∠CPA为锐角，|$\overrightarrow{AP}$|=2，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=2，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AP}$=1，当|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|取得最小值时，tan∠CAP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 可分别以AC，AB两直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设B（0，b），C（c，0），P（x，y），然后可得出向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AP}$的坐标，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{cx=2}\\{by=1}\end{array}\right.$，可消去x，y得到$\frac{4}{{c}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=4$，并可求出${b}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4{c}^{2}-4}$，从而可以得到$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AP}|$=$\sqrt{（{c}^{2}-1）+\frac{1}{4{c}^{2}-4}+\frac{1}{4}+7+2\sqrt{2}}$，这样便得出${c}^{2}=\frac{3}{2}$时$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AP}|$取最小值，这样便可求出此时的x，y值，从而求出tan$∠CAP=\frac{y}{x}$．

解答 解：如图，分别以AC，AB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系；
设B（0，b），C（c，0），P（x，y）；
∴$\overrightarrow{AB}=（0，b），\overrightarrow{AC}=（c，0），\overrightarrow{AP}=（x，y）$；
∴根据条件得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{cx=2}\\{by=1}\end{array}\right.$，消去x，y得：$\frac{4}{{c}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=4$；
∴${b}^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4{c}^{2}-4}$；
$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AP}|=|（x+c，b+y）|$=$|（c+\frac{2}{c}，b+\frac{1}{b}）|=\sqrt{（c+\frac{2}{c}）^{2}+（b+\frac{1}{b}）^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}+\frac{4}{{c}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+2\sqrt{2}+2}$=$\sqrt{（{c}^{2}-1）+\frac{1}{4{c}^{2}-4}+\frac{1}{4}+7+2\sqrt{2}}$；
∵${c}^{2}-1+\frac{1}{4{c}^{2}-4}≥1$，当${c}^{2}-1=\frac{1}{4{c}^{2}-4}$，即${c}^{2}=\frac{3}{2}$时取“=”；
∴${b}^{2}=\frac{3}{4}$，$b=\frac{\sqrt{3}}{2}，c=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
∴此时，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$；
∴$tan∠CAP=\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的加法及数量积运算，根据坐标可求向量的长度，以及基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式时，等号成立的条件，正切函数的定义．