Question

10．实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y-2x≤-2}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$的取值范围是[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用换元法结合分式的性质，利用数形结合是解决本题的关键．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图
则x＞0，y＞0，
则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+（\frac{y}{x}）^{2}}{\frac{y}{x}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，
则$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{1+（\frac{y}{x}）^{2}}{\frac{y}{x}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{k}$=k+$\frac{1}{k}$．
k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2x=-2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（2，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（3，1），
则OA的斜率k=$\frac{2}{2}$=1，OB的斜率k=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{1}{3}$≤k≤1，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在$\frac{1}{3}$≤k≤1上是减函数，
∴z的最大值为$\frac{1}{3}+3$=$\frac{10}{3}$，z的最小值为1+1=2，
即2≤z≤$\frac{10}{3}$，
故答案为：[2，$\frac{10}{3}$]

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式函数的性质，结合直线的斜率的几何意义是解决本题的关键．