Question

20．等比数列{a_n}满足a₁+2a₂=1，a${\;}_{3}^{2}$=a₅-a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．求数列的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-1-2-…-n=-$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}$n．利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$及其等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+2a₂=1，a${\;}_{3}^{2}$=a₅-a₆．
∴a₁（1+2q）=1，${a}_{1}^{2}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{4}-{a}_{1}{q}^{5}$，
联立解得：a₁=q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{2}$n．
∴数列的前n项和=$-\frac{1}{2}$（1²+2²+…+n²）-$\frac{1}{2}$（1+2+3+…+n）
=$-\frac{1}{2}$×$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{1}{2}×\frac{n（n+1）}{2}$
=-$\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$．

点评 本题考查了利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$求和、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．