Question

15．对于同一平面的单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$，若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60°，则$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow c）$的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 可由条件得到$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=1，|\overrightarrow{c}|=1$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=1$，从而进行向量数量积的运算便可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）=\frac{1}{2}+2cosθ$，其中θ表示向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{c}$的夹角，从而便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）$的最大值．

解答 解：根据条件$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$；
∴$（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）^{2}=1-1+1=1$；
∴$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=1$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{2}+2（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{2}+2|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cosθ$
=$\frac{1}{2}+2cosθ≤\frac{5}{2}$，θ表示向量$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$和向量$\overrightarrow{c}$的夹角；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{c}）$的最大值为$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的概念及范围，余弦函数的最值．