Question

5．解下列不等式：
（1）|$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x-2}$|＜1
（2）|$\frac{{x}^{2}+x+1}{x-2}$|＞2x+1．

Answer 1

分析 （1）不等式即 x²-2x+3＜|x-2|，且x≠2，分类讨论去掉绝对值，求得x的范围．
（2）不等式即 x²+x+1＞|x-2|•（2x+1），分类讨论去掉绝对值，求得x的范围．

解答 解：（1）∵|$\frac{{x}^{2}-2x+3}{x-2}$|＜1，x²-2x+3=（x-1）²+2＞0，
∴不等式即 x²-2x+3＜|x-2|，且x≠2．
当x＞2时，x²-2x+3＜x-2，x²-3x+5＜0，x无解．
当x＜2时，x²-2x+3＜-x+2，x²-x+1＜0，求得x无解．
综上，原不等式的解集为∅．
（2）对于|$\frac{{x}^{2}+x+1}{x-2}$|＞2x+1，∵x²+x+1＞0，x≠2．
∴不等式即 x²+x+1＞|x-2|•（2x+1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{{x}^{2}+x+1＞（x-2）（2x+1）}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x-2＜0}\\{{x}^{2}+x+1＞（2-x）（2x+1）}\end{array}\right.$②．
解①可得2＜x＜1+$\sqrt{7}$；解②可得x＜-$\frac{1}{3}$，或1＜x＜2．
综上可得，不等式的解集为{2＜x＜1+$\sqrt{7}$ 或x＜-$\frac{1}{3}$，或1＜x＜2}．

点评 本题主要考查分式不等式、绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．